MATLAB提供用于计较标记导数的diff呼吁。 以最简朴的形式，将要微分的成果通报给diff呼吁作为参数。
譬喻，计较函数的导数的方程式 –
例子
建设剧本文件并在个中键入以下代码 –
syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)
执行上面示例代码，获得以下功效 –
Trial>> syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)
ans =
6*t - 4/t^3
以下是利用Octave 计较的写法 –
pkg load symbolic
symbols
t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)
执行上面示例代码，获得以下功效 –
ans =
6*t - 4/t^3
根基微分法则的验证
下面扼要说明微分法则的各类方程或法则，并验证这些法则。 为此，我们将写一个第一阶导数f'(x)和二阶导数f“(x)。
以下是微分的法则 –
法则 – 1
对付任何函数f和g，任何实数a和b是函数的导数：
h(x) = af(x) + bg(x)相对付x，由h’(x) = af’(x) + bg’(x)给出。
法则 – 2
sum和subtraction法则表述为：假如f和g是两个函数，则f'和g'别离是它们的导数，如下 –
(f + g)' = f' + g'
(f - g)' = f' - g'
法则 – 3
product法则表述为：假如f和g是两个函数，则f'和g'别离是它们的导数，如下 –
(f.g)' = f'.g + g'.f
法则 – 4
quotient法则表白，假如f和g是两个函数，则f'和g'别离是它们的导数，那么 –
法则 – 5
多项式或根基次幂法则表述为：假如y = f(x)= x^n，则 –
这个法则的直接功效是任何常数的导数为零，即假如y = k，那么为任何常数 –
f' = 0
法则 – 5
chain法则表述为 – 相对付x的函数h(x)= f(g(x))的函数的导数是 –
h'(x)= f'(g(x)).g'(x)
例子
建设剧本文件并在个中键入以下代码 –
syms x
syms t
f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)
f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)
f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)
f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)
f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)
执行上面示例代码，获得 以下功效 –
f =
(x^2 + 3)*(x + 2)
der1 =
2*x*(x + 2) + x^2 + 3
f =
(t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
der2 =
(t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
f =
(x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 =
(2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
f =
(2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 =
(4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
f =
(x^2 + 1)^17
der5 =
34*x*(x^2 + 1)^16
f =
1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
der6 =
-(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7
以下是对上面示例的Octave写法 –
pkg load symbolic
symbols
x=sym("x");
t=sym("t");
f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = differentiate(f,x)
f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3)
der2 = differentiate(f,t)
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = differentiate(f,x)
f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = differentiate(f,x)
f = (x^2 + 1)^17
der5 = differentiate(f,x)
f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = differentiate(f,t)
指数，对数和三角函数的导数
下表提供了常用指数，对数和三角函数的导数，
例子
建设剧本文件并在个中键入以下代码 –
syms x
y = exp(x)
diff(y)
y = x^9
diff(y)
y = sin(x)
diff(y)
y = tan(x)
diff(y)
y = cos(x)
diff(y)
y = log(x)
diff(y)
y = log10(x)
diff(y)
y = sin(x)^2
diff(y)
y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)
y = exp(x)/sin(x)
diff(y)
执行上面示例代码，获得以下功效 –
y =
exp(x)
ans =
exp(x)
y =
x^9
ans =
9*x^8
y =
sin(x)
ans =
cos(x)
y =
tan(x)
ans =
tan(x)^2 + 1
y =
cos(x)
ans =
-sin(x)
y =
log(x)
ans =
1/x
y =
log(x)/log(10)
ans =
1/(x*log(10))
y =
sin(x)^2
ans =
2*cos(x)*sin(x)
y =
cos(3*x^2 + 2*x + 1)
ans =
-sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
y =
exp(x)/sin(x)
ans =
exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2
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以下代码是上面代码的Octave写法 –
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)
y = x^9
differentiate(y,x)
y = Sin(x)
differentiate(y,x)
y = Tan(x)
differentiate(y,x)
y = Cos(x)
differentiate(y,x)
y = Log(x)
differentiate(y,x)
% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)
y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)
y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)
y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)
计较高阶导数
要计较函数f的较高导数，可利用diff(f，n)。
计较函数的二阶导数公式为 –
f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)
MATLAB执行上面代码将返回以下功效 –
ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)
以下是利用Octave重写上面示例，代码如下 –
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)
例子
在这个例子中，要办理一个问题。由给定函数y = f(x)= 3sin(x)+ 7cos(5x)，来找出方程f“+ f = -5cos(2x)是否创立。
建设剧本文件并在个中键入以下代码 –
syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x); % defining the function
lhs = diff(y,2)+y; %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x); %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
disp('Yes, the equation holds true');
else
disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);
运行文件时，会显示以下功效 –
No, the equation does not hold true
Value of LHS is:
-168*cos(5*x)
以上是上面示例的Octave写法 –
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x); % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y; %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x); %rhs of the equation
if(lhs == rhs)
disp('Yes, the equation holds true');
else
disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);
查找曲线的最大和最小值
假如正在搜索图形的局部最大值和最小值，根基上是在特定所在的函数图上或标记变量的特定值范畴内查找最高点或最低点。
对付函数y = f(x)，图形具有零斜率的图上的点称为牢靠点。 换句话说，牢靠点是f'(x)= 0。
要找到微分的函数的牢靠点，需要将导数配置为零并求解方程。
示例
要找到函数f(x)= 2x3 + 3x2 - 12x + 17的牢靠点
可参考以下步调 –
首先输入函数并绘制图，代码如下 –
syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % defining the function
ezplot(y)
执行上面示例代码，获得以下功效 –
以上是上面示例的Octave写法 –
pkg load symbolic
symbols
x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");
ezplot(y)
print -deps graph.eps
我们的方针是在图上找到一些局部最大值和最小值，假设要找到图中隔断在[-2,2]的局部最大值和最小值。参考以下示例代码 –
syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])
执行上面示例代码，获得以下功效 –
以下是上面示例的Octave写法 –
pkg load symbolic
symbols
x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");
ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps
接下来，需要计较导数。
g = diff(y)
MATLAB执行代码并返回以下功效 –
g =
6*x^2 + 6*x - 12
#p#分页标题#e#
以下是上面示例的Octave写法 –
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
接下来求解导数函数g，获得它变为零的值。
s = solve(g)
MATLAB执行代码并返回以下功效 –
s =
1
-2
以下是上面示例的Octave写法 –
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])
这与我们设想情节一致。 因此，要评估临界点x = 1，-2处的函数f。可以利用subs呼吁替换标记函数中的值。
subs(y, 1), subs(y, -2)
MATLAB执行代码并返回以下功效 –
ans =
10
ans =
37
以下是上面示例的Octave写法 –
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)
因此，在隔断[-2,2]中函数f(x)= 2x^3 + 3x^2 - 12x + 17的最小值和最大值别离为10和37。
求解微分方程
MATLAB提供了用于求解微分方程的dsolve呼吁。
找到单个方程的解的最根基的dsolve呼吁形式是 –
dsolve('eqn')
个中eqn是用于输入方程式的文本串。
它返回一个标记解，个中包括一组任意常量，MATLAB标志C1，C2等等。
还可觉得问题指定初始和界线条件，以逗号脱离的列表遵循以下公式：
dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)
为了利用dsolve呼吁，导数用D暗示。譬喻，像f'(t)= -2 * f + cost(t)这样的等式输入为 –
'Df = -2*f + cos(t)'
较高阶导数由D导数的顺序暗示。
譬喻，方程f"(x) + 2f'(x) = 5sin3x应输入为 –
'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'
下面来看一个一阶微分方程的简朴例子：y'= 5y。
s = dsolve('Dy = 5*y')
MATLAB执行代码并返回以下功效 –
s =
C2*exp(5*t)
再来一个二阶微分方程的例子：y“-y = 0，y(0)= -1，y'(0)= 2。
dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')
MATLAB执行代码并返回以下功效 –
ans =
exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2
